რაციონალური რიცხვები.(წილადები და ათწილადები)

 

·        სკოლაში ჯერ გავვეცანით ნატურალურ რიცხვებს 1.2,3.....ესენი თვლისას დაგვჭირდა

·        მერე „დადებით წილად რიცხვებს“ ½  ;17/5; 4/3 ;2/5....-[ისენი დაგვჭირდა „მონაკვეთების სიგრძეების’’  გაზომვებისას]  და ვუწოდეთ მათ „დადებითი რაციონალური რიცხვები“ [!]  .

·        სიტყვა „რაციონალური“ ლათინურად ratio – „შეფარდებას“ უკავშირდება  -ალგებრაში ,სწორედ ამ მნიშვნელობიტ გამოიყენება ეს ტერმინი (დაიმახსოვრე :მე-2 მნიშვნელობით კი  „რაციონალური’’ –„გონივრულს,მიზანშეწონილს“ ნიშნავს)

·        გავიხსენოთ „დადებითი რაციონალური რიცხვების’’ ანუ  „Q⁺ რიცხთა“[ამ რიცხვთა სიმრავლეს ამ ასოთი აღმიშნავენ]   განმარტება:

„რიცხვები რომლებიც ორი ნატურალური რიცხვის შეფარდებით ჩაიწერება დადებითი რაციონალური რიცხვებია ‘’!!! [ზეპირად]

·         მერე ვნახეთ რომ თავად  აქ ნახსენები „ნატურალური რიცხვებიც ‘’ წილადი რიცხვებია

 

ხ

 

·        შემდეგ „დადებით რაც.რიცხვებზე(წილადებზე)“  ოთხი არითმეტიკული მოქმედება ვისწავლეთ( იხ. ვებ გვერდი       https://silkschool.ge/lessons#/?s=54&c=10&o=class

 და გაიმეორე ეს „წილადებზე მოქმედებები“ -აუცილებლად [!])

 

 

ხ

რაციონალური რიცხვის(ანუ წილადის) გეომეტრიული წარმოდგენა

·        „დადებით რაც. რიცხვები(ანუ წილადები)’’ გეომეტრიულადაც წარმოვადგინეთ

ამისათვის შევარჩიეთ „წრფეზე’’  მონაკვეთი რომლის სიგრძე „ერთეულის’’ ტოლად მივიჩნიეთ

მერე ერთეული მონაკვეთი n ტოლ ნაწილად დავყავით

თითოეული ნაწილის სიგრძე 1/n იყო[!]

ხოლო მონაკვეთის სიგრძე რომელშიც ასეთი მონაკვეთების რიცხვი m -ია იქერბა m/n ანუ ნებისმიერი  დადებითი წილადი რიცხვი

გეომეტრიულად მონაკვეთია რომლის ერთი ბოლო რიცხვითი ღერძის  სათავეა  !!!!!

 

ხ

დადებითი რაციონალური რიცხვების თვისებები

 

ვთქვათ A  და B „დად.რაც რიცხვებია“ თუ მონაკვეთი OA=a და მონაკვეთიAB=b, მაშინ მონაკვეთი OB=a+b

ხ

თუ მონაკვეთი OA=a  და მონაკვეთიAB=b ხოლო  მონაკვეთიBC=c

მაშინ (a+b)+c= a+(b+c)-[ესაა  დადებითი რაც რიცხვების ე.წ. „ჯამის ჯუფთებადობის’’ თვისება ]

 

 გეომეტრიულად რომ წარმოვიდგინოთ  „დადებითი რაც რიცხვების ჯამი“ ესეც მინაკვეთია [დახაზე შენ თვითონ]

ხ

·        ორი დადებ. რაც რიცხვის(წილადის) ნამრავლი გეომეტრიულად რომ წარმოვიდგინოთ ეს იმ მართკუთხედის  ფართობია რომლის „სიგრძე“ და „სიგანე“  შესაბამისად ეს რაციომალური  რიცხვებია -   ab

ხ

 

·        დადებითი რაც რიცხვების „განრიგებადობის“ თვისება : a(b+c)= a b + a c

გეომეტრიულად ეს იმ მართკუთხედის ფართობია რომლის ერთი გვერდია a,ხოლო  მეორე გვერდი b+c დახაზე

ხ

 

·        (ab)c = a(bc)  „ნამრავლის ჯუფდებადობის“ თვისებაა

გეომეტრიულად შეგვიძლია წარმოვიდგინოთ მართკუთხა პარალელეპიპედის მოცულობად.

 

ხ

წილადების ათწილადებად ჩაწერა

(კერძოდ, „სასრულ’’ და „უსასრულო’’ პერიოდულ ათწილადებად)

·        დადებითი რაცინალური რიცხვების(წილადების) ათწილადებად ჩაწერასაც გავეცანით(იხ. სილქსქულლ .გე  https://silkschool.ge/lessons#/?s=54&c=10&o=class

 

ხ

 

რომელი წილადების წარმოდგენა შეიძლება „სასრული“ ათწილადის სახით ?

 

·        მხოლოდ იმ უკვეცი წილადების რომელთა  მნიშვნელის გამყოფი „არ არის 2-ისა და 5-ისაგან განსხვავებული რაიმე „მარტივი რიცხვების“ ნამრავლი“,

·        სხვა სიტყვებით უკვეცი წილადის მნიშვნელის წარმოდგენა თუ შესაძლებელია 2-ების და 5-ების ნამრავლის სახით,მაშინ ეს წილადი „სასრული ათწილადის სახით ჩაიწერება

 

როცა რაიმე  p/q წილადში q არის 2 -ების და 5-ების ნამრავლი (ანუ უნდა შეამოწმო ხომ არ არის)

მაშინ „წილადის ძირითად თვისებას“[„მრიცხველის და მნიშვნელის ერთი და იგივე რიცხვზე გამრავლებით წილადის „მნიშვნელობა’’ არ იცვლება“]  გამოიყენებ-ამით „მნიშვნელში’’ გადახვალ „10-ის მთელ ხარისხებზე’’ და მერე  კი  წილადს ჩაწერ  სასრული ათწილადის სახით მარტივად

 

მაგ. 31/25= =  31x4/ 25x4  = 124/100= 1,24

 

მაგ.

13   3/20= 13   3^.5/20^.5=13 15/100= 13 +1/10+5/100=13,15

 

ასეთი უკვეცი წილადის ათობით სისტემაში(სასრულ ათწილადად ჩასაწერად საკმარია გაყოფა  „ქვეშმიწერის ხერხით ‘’ შევასრულოთ:

213/4=53,25(ქვეშმიწერით გაყოფის შედეგი)

 

ხ

წილადის უსასრულო ათწილადებად ჩაწერა

·        1/3 არ ჩაიწერება სასრული ათწილადის სახით; 1-ის  3-ზე გაყოფისას განაყოფის ჩანაწერში ციფრი 3 იწყებს გამეორებას

1/3=0,33333...

·        ციფრს ან ციფრთა ერთობლიობას რომელიც გამეორებას იწყებს პერიოდი ვუწოდოთ და ფრჩხილებით გამოვყოთ:

1/11=0,0909..=0,(09)

 

ხ

უსასრულო პერიოდული ათწილადის დამრგვალება

 

·        დადებით რაციონალურ რიცხვებს (ანუ წილადებს) სხვადახვა ამოცანებში ან „სასრული ათწილადების“ სახით ჩაწერენ ხოლმე ან „უსასრულო პერიოდული ათწილადების“ სახით

·        ამასთან,“უსასრულო პერიოდულ ათწილადებს“   „ამრგვალებენ’’  ხოლმე ან მეტობით ან ნაკლებობით სასურველ თანრიგამდე და „სასრულ ათწილადად“ წარმოადგენენ;

·        მაგ 2,1(27) „მიახლებითი“[ანუ „დამრგვალებული’’] მნიშვნელობები „მეასედებამდე სიზუსტით’’ იქნება :  ან 2,12(ნაკლებობით დამრგვალებისას )  და 2,13(მეტობით დამრგვალებისას )

ხხხხ

გასამეორებელი გაქვს:

·        წილადებზე და ათწილადებზე ოთხი არითმეტიკული მოქმედება (გასამერებელია სილქსქუულ .გე)

·        წილადების და ათწილადების თვისებები(გასამეორებელია სილქ.სქულ .გე)

 

 

ხხხხხ

ათწილადების შედარება

წესი: ორი ათწილადის შედარებისას წყვილ-წყვილად ვადარებთ მათ „მთელ ნაწილებს’’ და „ათწილად ნაწილებს“;

მაგ: 1,4145>1,4139

 

ხ

პროცენტი

·        პროცენტი ლათინური სიტყვაა pro centum და ნიშნავს მეასედ ნაწილს

·        პროცენტი წილადის ან ათწილადის ჩაწერის განსხვავებული მე-3 ფორმაა

·        დაუმახსოვრე :  1%=0,01 = 1/100 [ზეპირად]

 

შესაბამისად:

·        0,25=25^.0,01=25%

·        ½=0,5=5/10= 5x10/10x10= 50/100= 50^.0,01=50%

·        0,1=10.0,01=10%

·        1,21=121.0,01=121%

 

ამრიგად,  „პროცენტებით“ – „წილადები“ და „ათწილადები“ – „ ნატურალური რიცხვის“  სახით წამოგვიდგება 1% ; 25 % ;50 % და სხვა

 

 

ხ

 

·        მე-7 კლ. უაყოფითი მთელი რიცხვები და უარყოფითი რაციონალური(წილადი) რიცხვები ისწავლე

          დაიმახსოვრე:

·        დადებითი და უარყოფითი რაციონალური რიცხვები(უკვეცი წილადები) ნულთან ერთად ქმნის რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს Q

·        დაიმახსოვრე :

ყოველი რაც რიცხვი ჩაიწერება სიმბოლურად ასე  m/n !!!

   სადაც m ეკუთვნის  Z[მთელ რიცხვთა სიმრავლეს]  ,ხოლო  n ეკუთვნის N[ნატურალურ რიცხვთა სიმრავლეს]

 

რაციონალური რიცხვების Q სიმრავლე — ეს არის სიმრავლე რომელიც შედგება  m/n  და −m/n ტიპის რიცვებისგან და რიცხვისგან 0

, N — ნატურალურ რიცვთა სიმრავლე შედის Z მთელი რიცხვების სიმრავლეში, ხოლო Z — მთელი რიცხვების სიმრავლე შედის Q რაციონალური რიცხვების სიმრავლეში . ეს ასე აღინიშნება N⊂Z  ხოლო Z⊂Q.

 

 

 

 

 

რაც რიცხვები რიცხვით წრფეზე გეომეტრიულად ამ წრფის წეტილებით გამოისახება.

 

ყურადღება:

·        რაც რიცხვები ანუ  წილადები შეიძლება ათწილადების სახით ჩაიწეროს-

·        ათწილადის მოხერხებულობა ისაა რომ სტრიქონში იწერება და „არა სვეტში’’

 

სასრული ათწილადი ზოგადად ასე ჩაიწერება

a,a₁ a₂..a_n

სადაც a₁,a₂ .....a_n.  დან თითოეული რაიმე -ციფრია 0-დან 9-მდე ანუ ათობითი სისტემის  ნიშნებია

 

a,a₁ a₂..a_{n ათწილადი წარმოადგენს რიცხვს რომელიც ასე შეიძლება წარმოვადგინოთ}

a ₊a_1/10+a_2/10²_+…+a_n/10ⁿ

 მაგ. 42,51=42+ 5/10 +1/100

ანუ ამ ჯამით მოიცემა წილადი რომლის მნიშვნელი -„10-ის მთელი ხარისხია“(თან ეს ხარისხი  n –ი„არაუარყოფითი მთელია’’)

a,a₁ a₂..a_{n= ნატურალური რიცხვი/10}ⁿ

 

ანუ ყოველი  სასრული ათწილადი  წილადის სახით ჩაიწერება  !!!!!

 

მაგ. ჩავწეროთ ჯერ გაშლილი ფორმით და შემდეგ წილადის სახით სასრული ათწილადი :

21,25=2x10 +1+2/10+5/100=21 25/100

 

ხ

და პირიქით  უკვეცი წილადის სასრულ ათწილადში გადაყვანის წესი:

თუ  p/q რაიმე წილადია სადაც q  10-ის მთელი ხარისხია ანუ არის  10^k სადაც k ეკუთვნის N

მაშინ ეს წილადი ჩაიწერება  a,a₁ a₂..a_{k  სასრული  ათწილადის სახით}

p/q= _{ნატურალური რიცხვი/10}^k= a,a₁ a₂..a_k

 

ხ

დაიმახსოვრე:

·        ბოლო ათობითი ნიშნის ანუ ციფრის მარჯვნივ ნულების მიწერით ათწილადის მნიშვნელობა არ იცვლება.!!!

·        მთელი დადებითი რიცხვის ჩაწერაც კი შეიძლება ათწილადის სახით მაგ. 3-ის 3,0=3,00

 

ხხხხხხ

როცა რაიმე  p/q წილადში q არის 2 -ების და 5-ების ნამრავლი (ყოველთვის უნდა შეამოწმო ხომ არ არის)

მაშინ წილადის ძირითად თვისებას გამოიყენებ-გადახვალ 10-ის მთელ ხარისხებზე და მერე წილადს ჩაწერ  სასრული ათწილადის სახით  ძალიან მარტივად

 

მაგ. 31/25= 31/25 x 4/4= 124/100= 1,24

 

Xxxxxxx

უსასრულო პერიოდული ათწილადები

 

მაგ. ჩავწეროთ ათწილადის სახით წილადი 1/3

ამისათვის ჯერ ვიპოვოთ ორი მთელი რიცხვი რომელთა შორისაა 1/3

0<1/3≤1 ნული ნაკლებია ან ტოლი 1/3-ზე და 1/3 ნაკლებია ან ტოლია 1-ზე

[0,1] შუალედი დავყოთ 10 ტოლ ნაწილად

განვიხილოთ რიცხვები:

0,0+1/10,0+2/10....9/10 +10/10

მათგან შევარჩიოთ 2 რიცხვი რომელთა შორისაა 1/3

0+3/10<1/3≤0+4/10 ანუ 0,3<1/3≤0,4 ნაკლებია ან ტოლია 0,4-ზე

ახლა [0,3,0,4] შყალედს დავყოფთ 10 ტოლ ნაწილად

0.33<1/3≤0,34 ნაკლებია ან ტოლია 0,34-ზე

ამ პროცესს გავაგრძელებთ

0,333<1/3≤0,334 ნაკლებია ან ტოლია 0,334-ზე

0,333 არის 1/3--ს მიახლოებითი მნიშვნელობა მეათასედების სიზუსტით

 

m ნაბიჯის მერე ასეთი ზოგადი უტოლობა მიიღება

0,333......3<1/3≤0,333....3 +10^-m

m ათწილადის მძიმის შემდეგ სამიანების ოდენობაა.

 

ამ და ნებისმიერი ორმაგი უტოლობის ჩაწერა უსასრულოდ გაგრძელდება

ამ კონკრეტულ წილადს კი ასე ჩავწერთ

1/3= 0,333333......

1/3 უსასრულოპერიოდული ათწილადის სახით ჩაიწერება ასე:

1/3= 0,(3)

ხ

ყურადღება:

გაცილებით ადვილია იგივე შედეგი გაყოფით მივიღოთ 1:3-ქვეშმიწერით

 

უარყოფითი რაც.რიცხვი ასე ჩაიწერება -1/3=-0,(3)

ხ

დაიმახსოვრე:

ყოველი  რაც.რიცხვი,რომელიც არ ჩაიწერება სასრული ათწილადის სახით,შეიძლება ჩავწეროთ უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით

მაგ. თუ p/q(p६N,q६N) არ ჩაიწერება სასრული ათწილადის სახით მაშინ  p-ს q-ზე

გაყოფის პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება

გაყოფის პროცესში მიიღება შემდეგი ნაშთებიდან ერთ-ერთი

1,2....( q -1)

ამიტომ გარკვეული ადგილიდან ნაშთი გამეორდება და ათწილადის ჩანაწერშიც მძიმის სემდეგ ციფრების ჯგუფი დაიწყებს გამეორებას,ანუ უსასრულო პერიოდული ათწილადი მიიღება

23/99= 0,2323..= 0,(23)    ან 203/165=1,23030...= 1,2(30)

 

გახსოვდეს ყოველი პერიოდული ათწილადი გარკვ რაც. რიცხვის(წილადის) ათობითი ჩანაწერია

 

პრაქტიკული გამოყენების დროს რაც.რიცხვს,რომელიც უსასრულო ათწილადითაა გამოსახული მიახლოებით წარმოვადგენთ ხოლმე-სასრული ათწილადის სახით

 

ყოველთვის შეგვიძლია იმდენი ათწილადი ნიშანი დავთოვოთ რომ მიღებული ცდომილება დასაშვები იყოს

ამას ვუძახით უსარულო პერიოდული ათწილადის  “დამრგვალებას’’

 

 

ხხხხხხხხხხხხხხხხხ

დაიმახსოვრე:

ყოველი რაციონალური რიცხვი(წილადი) შეიძლება ჩაიწეროს  ათწილადის სახით

(ან სასრული ათწილადის ან უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით) !!!!!!!!!!!!!!!!

 

 

7/22=0,3181818...=0,3(18);

4=4,000...=4,(0);

7,3777=7,37770000...=7,3777(0).

 

შებრუნებული ნათქვამიც სწორია: ნებისმიერი უსასრულო პერიოდული ათწილადი შეიძლება ჩაიწეროს  ჩვეულებრივი წილადის სახით; აქედან გამომდინარე ნებისმიერი უსასრულო პერიოდული ათწილადი არის -რაციონალური რიცხვი

ხ

უსასრულო პერიოდული ათწილადის წილადად გადაქცევის ხერხი:!!!!!!!!

მაგ:

გადავიყვანოთ უსასრულო პერიოდული ათწილადი  4,5(28) ჩვეულებრივ წილადში.

აღვნიშნოთ x= 4,5(28), ანუ  x= 4,5282828... და ა.შ.

 

·        ჯერ უნდა გადავაადგილოთ მძიმე რათა ის უშუალოდ პერიოდის წინ აღმოჩნდეს : ამისათვის ჩვენს მაგალითში x გავამრავლოთ 10-ზე. მივიღებთ 10x=45,282828... და ა.შ..

 

·        ახლა მძიმე გადავწიოთ ისე რომ ,ის იდგეს პერიოდის შემდეგ.ამისათვის ჩვენს მაგალითში x გავამრავლოთ  1000. მივიღებთ 1000x=4528,282828... და ა.შ..

 

·        მეორე ტოლობას გამოვაკლოთ პირველი

.

1000x=4528,282828...

-

10x=45,282828...

 

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

990x=4483

აქედან

 

 x=4483/990=4   523/990.