საბანკო ანაბარი

 

მარტივი  პროცენტის დარიცხვის წესი

 

·         ვადიან ანაბარს(ბანკში რაღც ვადით შეტანილ თანხას )ბანკი სარგებელს(გარკვეულ თანხას) დაარიცხავს ხოლმე

·         ყველაზე უფრო გავრცელებულია ე.წ. მარტივი პროცენტის დარიცხვის წესი

·         წესის თანახმად შეტანილ თანხას ყოველი საბანკო წლის ბოლოს დაერიცხება ამ  შეტანილი თანხის ერთი და იგივე პროცენტი ანუ ამ თანხის  ერთი და იგივე ნაწილი (მას წლიურ საპროცენტო განაკვეთსაც უწოდებენ  ამას აცხადებენ ბანკები )

·         მაგ. თუ რომელიმე ბანკის  წლიური საპროცენტო განაკვეთია 10 %

·         მაშინ ამ ბაკში შეტანილ თანხას ერთი წლის შემდეგ ბანკი დაუმატებს ამ თანხის 1/10-ნაწილს(10%=10/100=1/10)

·         ახლა ვთქვათ საწყისი თანხაა P

·         ხოლო წლიური სარგებელი ანუ ამ თანხის r  ნაწილი

·         მაშინ პირველი წლის ბოლოს  P იზრდება rP-თი

·         პირველი წლის ბოლოს  P₁=P +rP=P(1+r) 

·         მეორე წლის ბოლოს P₁   თანხა კვლავ იზრდება rP-თი

·         მეორე წლის ბოლოს P₂=P₁ +rP= P + rP + rP= P(1+2r) 

·         n წლის შემდეგ  დაგროვილი თანხა არის P_n= P(1+nr)  !!!!!

·         მათემატიკურად თანხები P;P₁;….Pn არითმეტიკულ პროგრესიას ადგენს

·         ამ პროგრესიის სხვაობაა rP

 

ხხხხხხ

 

 

რთული პროცენტის დარიცხვის წესი

თუ  ბანკის წლიური სარგებელია r

რთული პროცენტის დარიცხვის წესის გამოყენების დროს ყოველი შემდეგი წლის თანხა წინა წლის თახაზე  წინა წლის თანხის r ნაწილითაა მეტი :

 

P₁=P +rP=P(1+r)

P₂=P₁ +rP₁= P₁(1+r)= P(1+r)²

P₃=P₂ +rP₂=P₂(1+r)= P(1+r)³

_…….

P_n=P_n-1 +rP_n-1=P_n-1(1+r)= P(1+r)ⁿ

 

 

·         მათემატიკურად წლიური თანხები P;P₁;….Pn გეომეტრიულ  პროგრესიას ადგენს

·         პირველი წევრია P(რაც შეგაქვს)

·         ამ პროგრესიის მნიშვნელია (1+r)

შეგვიძლია ვთრქვათ რომ ბანკში შეტანილი თანხა მარტივი პროცენტის დარიცხვისას მათემატიკური პროგრესიით იზრდება ხოლო რთული პროცენტის დარიცხვის შემთხვევაში გეომეტრიული პროგრესიით;

ხ

სარგებლის წლიური  დარიცხვა (რთული პროცენტი)

 

·         თუ ბანკის წლიური პროცენტული განაკვეთია P %

·         მაშინ წლისბოლოს ანგარიშზე არსებულ თანხას   ბანკი დაუმატებს ამ თანხის r ნაწილს( r=P/100)

·         მაშინ n წლის შემდეგ ანგარიშზე არსებული თანხა  Aგამოითვლება ფორმულით:

A=P(1+r)ⁿ

·         P  არის საწყისი.თავდაპირველად ბანკში შეტანილი თანხა.

ხ

სარგებლის პერიოდული  დარიცხვა

 

·         ვთქვათ ბანკი ანგარიშზე არსებულ თანხას სარგებელს r-ს არიცხავს არა წლის ბოლოს არამედ წელიწადში n-ჯერ(რაღაც პერიოდულობით ამ პერიოდულობაში  და %- ში აქვთ კონკურენცია ბანკებს)

·         მაშინ თითოეულ ჯერზე დარიცხვის განაკვეთი იქნება r/n

·         r=P/100

·         P  არის საწყისი.თავდაპირველად ბანკში შეტანილი თანხა.

ხ

 

·           t წლის შემდეგ დაგროვილი თანხა  გამოისახება ფორმულით :

A=P(1+r/n)^nt

 

Xxxx

სარგებლის უწყვეტი დარიცხვა

·         ვთქვათ m=n/r    1/m=r/n    n=mr

მაშინ

A=P(1+r/n)^nt= P(1+1/m)^mrt= P[(1+1/m)^m]^rt

·         თუ n უსასრულოდ იზრდება-შეიძლება ვთქვათ რომ თანხის დარიცხვა უწყვეტად მიმდინარეობს(იხ. იურისტრბისთვის მათემატიკა იუტუბზე)

·         რადგა n ზრისას -m-იც უსასრულოდ იზრდება და (1+1/m)^m „უსასრულოდ უახლოვდება e რიცხვს

·         მივიღებთ რომ უწყვეტი დარიცხვის შემთხვევაში დაგროვილი თანხა გამოითვლება ფორმულით :

·         A=Pe^rt  !!!!

სადაც

r=P/100  

P  არის საწყისი.თავდაპირველად ბანკში შეტანილი თანხა.

t წლების რაოდენობა

ხ

ანაბარზე დარიცხული სარგებელი და ინფლაცია

 

·                       დაიმახსოვრე  :

თუ ინფლაცია შეადგენს წლიურ m%-ს  ანუ  მთელის α ნაწილს (α= m/100)

მაშინ ერთსა და იგივე საქონელში და მომსახურებაში (მის წარმოებაში რაიმე ცვლილების გარეშე)

წლის ბოლოს (1 +α)- ჯერ მეტი თანხის გადახდა გვიწევს ვიდრე წლის დასაწყისში

 

·                       მაგ. თუ ინფლაცია არის 10 % და შაქარი წლის დასაწყისში ღირდა 1 ლარი,მაშინ წლის ბოლოს ,მხოლოდ ინფლაციის გათვალისწინებით ის ეღირება 1 ლარი და 10 თეთრი-1,1-ჯერ მეტი

 

 

                               x

·         თუ შენი  ბანკის წლიური განაკვეთი  ანაბარზე არის r   (რთული პროცენტის დარიცხვის წესით)

რამდენჯერ იზრდება წლის ბოლოსათვის ვადიან ანაბარზე შეტანილი თანხა ?  A=P(1+r)ⁿ  : P=(1+r)ⁿ  -ჯერ ანუ (1+r)-ჯერ რადგან n=1(1 წელი)

x

·         ვთქვათ ინფლაციაა α   ; რამდენჯერ მცირდება ფულის ერთეულის  მყიდიდველობითი შესაძლებლობა ?

(1+α)-ჯერ

ხ

 

·         ვთქვათ r>α

·         რამდენჯერ იზრდება სინამდვილეში შეტანილი თანხა ინფლაციის გათვალისწინებით ?

·         რისი ტოლი აღმოჩნდება  რეალური პროცენტული განაკვეთი ?

1+r-(1+α)-ის

·        ამრიგად   რეალური   განაკვეთი არის 1+r/1+α    -1 =r-α/1+α !!!

·         დაიმახსოვრე : ანაბარზე დარიცხული წლიური  სარგებელი ინფლაციის გათვალისწინებით არის:

r-α/1+α

 

სადაც  r ბანკის წლიური განაკვეთია

  α წლიური   ინფლაცია

 

ხ

ვთქვათ გვსურს ბანკის წლიურმა r  განაკვეთმა უზრუნველყოს თანხის რეალური წლიური iგანაკვეთი. რა თანაფარდობით უნდა გამოისახოს rრიცხვი iრიცხვით ? განვიხილოთ შემთხვევა

i=8%   α= 1%

უნდა გავიგოთ როგორი უნდა იყოს საბანკო წლიური განაკვეთი r რომელიც ერიცხება ანაბარს ,რათა რეალური (ეფექტური განაკვეთი) i=8%   იყოს α= 1% წლიური ინფლაციის პირობებში

ამოხსნა:

·         i= 1+r/1+α    -1

·         0,08=1+r/1+0,01    -1

·         0,08=1+r/1,01    -1

·         0,08=1+r-1,01/1,01   

·         0,0808=r-0,01

·         r=0,09

·         r=9%

 

 

 

რჩევები   ბანკში ანაბარის  გახსნასთან დაკავშირებით :

1.    შეისწავლე სხვადასხვა ბანკში(თიბისი,ვითიბი,საქართველოს ბანკი და ა.შ.) ვადიანი ანაბრის პირობები ანუ ა) წლიური %  ვადიანი ანაბრის ლარებში გახსნისას

ბ)წლიური % ანაბრის დოლარებში გახსნისას.

2.    ვთქვათ გაქვს  გარკვეული თანხა მაგ. 5000 ლარი

·         შეარჩიე ანაბრის შეტანის პირობა:

ა) გადაცვლი ამ თანხას დოლარებზე და ისე შეიტან 1 წლით

ბ)თუ  უმჯობესია ვადიანი ანაბრის ლარებში გახსნა

გ) გამოიანგარიშე 1 წლის შემდეგ ასაღები თანხა(ნომინალური სარგებლით)

დ)გამოარკვიე შეტანის მომენტისთვის ინფლაციის დონე  და წლიური პროგნოზი

ე)გამოარკვიე ინფლაციის გათვალისწინებით  რამდენი %-ით გაიზრდება ან შემცირდება ანაბარზე შეტანილი შენი თანხა საბანკო წლის ბოლოს  ?

ვ) რამდენად საიმედოა შერჩეული ბანკი ?

ზ) რა საფუძველი აქვს ბანკის მიერ შემოთავაზებულ პროცენტულ განაკვეთს

თ) ხომ არ ჯობია თანხის სხვა საქმეში დაბანდება ? განიხილე სხვადასხვა ვარიანტები(მათ შორის ერთდროულად რამდენიმე საქმეში დაბანდებაც იგულისხმე )

ი) მოიფიქრე  როგორ მოიხმარ მიღებულ სარგებელს(თუ გექნა) კვლავ ანაბარზე განათავსებ თუ სხვა მიზნებს მოახმარ ?

ამოცანები საბანკო ანაბრებზე:

მაგალითი 1

 

·         დაახლოებით რამდენი წლის შემდეგ გაორმაგდება თანხა ,რომელიც შეტანილია ბანკში რთული პროცენტის დარიცხვის პირობით

·         ბანკის წლიური პროცენტული განაკვეთია 9,5%

·         სარგებლის დარიცხვა ყოველ კვარტალში ხდება

ამოხსნა :

·         გვჭირდება ფორმულა  A=P(1+r/n)^nt   (პროცენტის პერიოდულად დარიცხვის ფორმულა)

პირობის თანახმად

·         A=2P

·         r=9,5/100

·         n=4(წელიწადში 4 კვარტალია)

 

·         მაშინ  2P=P(1+0,095/4)^4t

 

·         მაშინ 4t= log_1,02375 2=lg2/lg1,02375=29,53(კალკულატორის გამოყენებით საჭიროა გამოყენების  წესის ცოდნა)

 

·         t=29,53/4=7.38 წელი

 

ხ

      მაგალითი  2

·         იპოვე მიახლოებითი წლიური პროცენტული განაკვეთი r

·         თუ ცნობილია რომ ბანკში შეტანილი 10000 ლარი უწყვეტი დარიცხვის წესით 10  წელიწადში 25000 ლარამდე გაიზარდა

      ამოხსნა:

·         გვჭირდება ფორმულა  A=Pe^rt   (პროცენტის უწყვეტად დარიცხვის ფორმულა)

პირობის თანახმად

·         P=10000

·         A=25000

·         t=10

·         მაშინ  25000=10000e^10r

·         2,5= e^10r

·         10 r=ln2,5(კალკულატორით)

·         10r=0,91629073187

·         r= 0,09162907318=9% !!!

ხ

 მაგალითი 3

·         ანაბარზე დაგროვილი თანხა გამოიანგარიშება უწყვეტი დარიცხვის წესით

·         წლიური განაკვეთი r= 7,5%-ია

·         რამდენჯერ გაიზრდება შეტანილი თანხა (დაახლოებით) 1 წლის შემდეგ ?

·         რამდენი პროცენტით გაიზარდა თანხა ?

ამოხსნა:

·         გვჭირდება ფორმულა  A=Pe^rt   (პროცენტის უწყვეტად დარიცხვის ფორმულა)

პირობის თანახმად

 

·         r= 7,5%-ია ანუ r=0,075

·         t=1

·         e=2,71828

·         შეტანილი P

·         მაშინ  ერთი წლის შემდეგ  A=Pe^0,075 

·         გაიზარდა Pe^0,075  / P= e^0,075= 1.077ჯერ(კალკულატორით)

ხ

·         1 წლის შემდეგ შეტანილი თანხა გაიზარდა 7.7%-ით

ამოხსნა:

P        100%

1,077P   x%

 

X%=1,077P   ^. 100%   / P=107,7%

 

ზრდა= X%-100%=107,7%-100%=7,7%

 

მაგალითი 4

 

იპოვეთ ის საწყისი თანხაP(მიახლოებით) რომელიც უნდა შევიტანოთ ბანკში წლიური რთული პროცენტით(ბანკის განაკვეთი r რიცხვია),რომ t წლის შემდეგ მივიღოთ ნახევარი მილიონი ლარი;სარგებლის დარიცხვა ყოველთვიურად მიმდინარეობს;

 

ამოხსნა:

 

·         გვჭირდება ფორმულა  A=P(1+r/n)^nt   (პროცენტის პერიოდულად  დარიცხვის ფორმულა)

·         პირობის თანახმად:

·         r=7,5%

·         t=20

·         A= 500000 ლარი

·         n=12

·         მაშინ

500000=P(1+0,075/12)^12x20

500000=P(1.00625)²⁴⁰

500000=4,46P

P=500000/4,46=112108 ლარი !!

ხ

ამოხსნა (ბ)

·         სხვა პირობის თანახმად:

·         r=12%

·         t=20

·         A= 500000 ლარი

·         n=12

·         მაშინ

500000=P(1+0,12/12)^12x20

500000=P(1.01)²⁴⁰

500000=10,9P

P=500000/10,9=45850 !!!

 

 

მაგალითი 5

 

იპოვე დრო,რომლის განმავლობაში 1000 ლარი გაორმაგდება,თუ დაგროვება რთული პროცენტით ხდება,წლიური განაკვეთი არის r  და დაგროვება ხდება

 

ა) ყოველთვიურად 

ბ)ყოველდღიურად 

გ)უწყვეტად 

 

განვიხილოთ  შემთხვევა როცა r=11%   

 

ამოხსნა :

 

·         გვჭირდება ფორმულა  A=P(1+r/n)^nt   (პროცენტის პერიოდულად  დარიცხვის ფორმულა)

·         ა) პირობის თანახმად:

·         n=12

·         r=11%   

·         P=1000

·         A=2000

·         t=?

·         მაშინ   2000=1000(1+0,11/12)^12t  

             2= (1,0091666)^12t  

             12t= log_1,0091666 2= lg2/lg1,0091666=77,36

              t=77,36/12=6,4 წელი

 

ხ

 

·         ბ) პირობის თანახმად:

·         n=365

·         r=11%   

·         P=1000

·         A=2000

·         t=?

·         მაშინ   2000=1000(1+0,11/365)^365t  

              2= (1,0003)^365t  

365t= log_1,00032= lg2/lg1,0003=2 310,83715813

              t=2 310,83715813 / 365= 6,33106070721 !!!  წელი

   

·         გ) პირობის თანახმად დარიცხვა ხდება უწყვეტად

·         გვჭირდება ფორმულა  A=Pe^rt   (პროცენტის პერიოდულად  დარიცხვის ფორმულა)

·         r=11%   

·         P=1000

·         A=2000

·         t=?

·         მაშინ   2000=1000e^0,11t

              2= e^0,11t

0,11t= ln2= 0,69314718056

            t= 0,69314718056 / 0,11 = 6,30133800509 წელი !!!

 

დასკვნა :

სარგებლის დარიცხვის სამივე ვარიანტში  თანხის გაორმაგებისათვის საჭიროა ერთი დაიგივე დრო .